注意力非常惊人，堪比拉马努金。

多说一句，这个统计数据接近37%多半是一种巧合。

因为拿不出400美元这个数据每年都在变，且不见得400美元就是斩杀线。

但是很多情况下出现37%跟1/e倒真是有关系。

要了解这个，我们先要来了解一下，什么是自然底数e？

$e≈2.71828182845904523536…$

e是一个超越数，是指一种不可以作为某个代数方程的根的实数或复数。

e这玩意看起来一点都不「自然」，它到底是什么自然的底数？

别慌，我们画个方程：

$y= e^x$

嗯，平平无奇嘛，不着急，我们把它换成极坐标：

$ \在极坐标中，x = \cos(\theta) 和 y=sin⁡(θ)，因此： sin⁡(θ) = e^{\cos(\theta)} $

这个图像眼熟了一些吗？

是不是很接近自然界的各种螺线？

大自然的对数螺旋

在几种自然现象中，你会发现几乎是对数螺旋的曲线。比如：

• 鹰找到猎物：他们最清晰的视野与他们的飞行方向有一定的角度。这个角度与对数螺旋的夹角相同。

• 昆虫到光源：它们习惯于将光源与飞行路径保持恒定角度。通常，太阳（或夜间物种的月亮）是唯一的光源，以这种方式飞行将导致几乎直线。 但是人造光源离得太近，虽然它们夹角恒定，但是会导致越飞越近造成飞蛾扑火的现象。
• 螺旋星系的臂。我们的银河系，有几个螺旋臂，每个螺旋都大致是一个对数螺旋，螺距约为12度。

• 角膜神经 （这是几种不同动物的角膜神经，以对螺旋模式在角膜的浅表皮层附近终止）。

• 热带气旋，例如飓风。
• 许多生物结构，包括软体动物的壳。

由此可见e在自然界存在非常广泛，但是这还不是它叫做自然底数的原因。

e是这样定义的：

$当n趋近于无穷大时,(1 + 1/n)^n的极限,即e = lim_{n→∞} (1 + 1/n)^n$

它之所以叫自然底数，源自它那古希腊哲学一般的形式美感：e 的一个重要性质是它是唯一一个使得其导数等于自身的数。也就是说：

$函数 f(x)= e^x的导数 f′(x)也等于 e^x$

这使得它在微积分和数学分析中非常重要。

简单来说，我们可以认为e的本质是连续不断的增长（或衰减）。

现实世界中，极少有事情是像光电效应一样到一定数值才激发，大多数事情（细菌分裂、谣言传播、资产增值）是每分每秒都在发生的。所以用到e的地方会很多。

比如假设你有 1 块钱，银行很大方，年利率 100%。

一年结一次息： 年末你有 2 块钱。

半年结一次息，到了年底你就有 ：
$(1+1/2)2=2.25(1+1/2)2=2.25$
每天结一次息，到了年底你就有 ：
$(1+1/365)365≈2.714(1+1/365)365≈2.714$

要是银行用电脑给你每秒、每毫秒、连续不断地结息呢？

那到了年底你就有 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \approx 2.71828… $

这就是这就是连续复利公式的由来 :

$A = P ⋅ e ^r t $

它告诉我们，靠「利滚利」的频率来增加财富是有天花板的。

你在一年的时间里不能通过无限次地结算利息来把 1 块钱变成 100 万，宇宙的极限锁死在了 2.718 倍左右（在 100% 利率下）。

那么，复利增长可以用e，价值衰减能不能用e呢？

也是可以的。

我经常在网上买二手的东西电子产品，会发现一个有趣的现象。

所有新的电子产品，只要拆开激活使用就开始贬值，不管你是用一次还是十几次，都会跌一个让你肉疼的价格，大几千的新机器，使用几次后不是你降价几十或者100块钱就能卖出去的，比如我买了一个12月1日才激活仅使用过一次的无人机，原价1500，卖家最终1200出售。

大多数电子商品使用一年左右，价格会跌到原价的一半以上。

但是你这个时候买二手的再用两个月，价格不会变成原价的1/4，而是依然能以差不多始发价半价卖出去。

其实仔细算算并非一半，而是接近36.8%，也就是e的倒数1/e。

举个例子，你今天买了一个一万的新苹果手机，但是你打开激活的一瞬间就开始贬值了。

你支付的购置税、保修、新手机溢价等费用，在转手时没人会考虑。

这部分贬值是即时且剧烈的，通常在第一个月就能损失原价的 10% 到 20% 甚至更高。

也就是说不管你是开了一周还是一个月，要卖的话估计都要有10%左右的跌价损耗。

过了这个剧烈衰减期间，后面价格的变化就按照指数衰减：

$V(t) = V_0 \cdot e^{-kt} $

V指的是商品的初始价值（比如新车的购买价）。

k衰减率常数。这个值越大，商品贬值越快。

这个公式意味着你买的商品的价值不是固定数量的减少，也不是固定百分比的减少（比如每年都减少几千块钱），而是每单位时间减少一个固定百分比。而正是这种「连续复利式」衰减的数学基础。

假如我们取k=1，单位时间一年，也取做1。

那么我们的苹果手机一年后会贬值到原价格的1/e，就约等于36.8%

当然，现实生活中苹果贬值没这么快，这里单位时间要久一点。

我这里找了一个我2021年买的苹果12：

当时的价格是4879，如果我现在放到二手平台能卖多少呢？

最近的最高成交价是1807左右（且品相完美），意味着高于这个价格可能就很难卖出了。

那么这个价格就是1807/4879≈37%

看，我们的37%出现了！

很有趣是吧。

只要增长或者衰减是连续的，我们总是很容易的能找到e能见缝插针的地方。

所以回到我们的斩杀线上。

37%的概率恰恰是数学上的最优停止理论。

这其实跟苏格拉底捡麦穗是一样的概率。

相传，苏格拉底的三个弟子曾向他请教如何找到最理想的伴侣。

苏格拉底并未直接回答，而是让他们走进一片麦田，要求他们分别从中选择一支最大的麦穗，且只能摘一次，不能回头。

第一个弟子刚走几步就摘了一支自认为最大的麦穗，但后来发现后面还有更大的，于是遗憾不已；

第二个弟子则一路犹豫不决，最终空手而归；

第三个弟子则吸取前两人的教训，他先观察麦穗的大小，分出大、中、小三类，然后在最后三分之一的路程中果断选择了比参照物更大的麦穗，最终满意而归。

假设一共有N个麦穗（可以预见，N这个数字很大）如果你随机选，选中的概率是 1/N

如果你把所有麦穗都看完，你只能选最后一个，但它未必是最大的。

数学家的策略（37%法则）：

你应该把前 37%（准确地说是 1/e）的数据作为「观察样本」。

对这前 37% 的麦穗，无论多大，统统不要，但记下它们中最大的一个X

从第 37% 个麦穗之后开始，一旦遇到一个比X大的麦穗，立即采下来，能确保你采的麦穗在策略上是最大的。

数学证明，使用这个策略，你选中最大麦穗的概率，竟然也刚好是 37%（准确地说是 1/e）左右。

这说明37%就是在不确定性面前，人类能达到的数学极限。

也就是说，斩杀线37%可能确实是巧合，但是如果我们真打算淘汰一些人，留下那些比较好，那么淘汰最底下的37%可能就是社会达尔文丛林里给出的终极答案了。

抽卡也是同样的道理，当样本量足够大（趋向于无穷大）时，如果你有 1/n的概率中奖，尝试 n次，你一次都中不了的概率，就是 1/e，也就是 36.8%左右。

也就是说1/100的抽中概率，你抽100次一次也不中的概率居然高达36.8%，正因为如此，游戏厂商才要设置保底，免得你卸载游戏。

自然底数e就是这么神奇啊~